Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 2 + 0 \\ - 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 2 \\ - 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 2 \\ - 3 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (3 - λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda $(- 2 - λ) (3 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 2 \cdot 3 - 2 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 2 \cdot 3 - 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$p (λ) = - 6 - 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 6 + 2 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia $3 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = - 6 - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique $- (- 3 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = - 6 - λ + λ^{2} - - 6$

Etapa 1.5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = - 6 - λ + λ^{2} + 6$

Etapa 1.5.2.2

Combine os termos opostos em $- 6 - λ + λ^{2} + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Some $- 6$ e $6$ .

$p (λ) = - λ + λ^{2} + 0$

Etapa 1.5.2.2.2

Some $- λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = - λ + λ^{2}$

Etapa 1.5.2.3

Reordene $- λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - λ = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $λ$ de $λ^{2} - λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $λ$ de $λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - λ = 0$

Etapa 1.7.1.2

Fatore $λ$ de $- λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.7.1.3

Fatore $λ$ de $λ \cdot λ + λ \cdot - 1$ .

$λ (λ - 1) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ$ como igual a $0$ .

$λ = 0$

Etapa 1.7.4

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $λ - 1$ como igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$λ = 1$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam $λ (λ - 1) = 0$ verdadeiro.

$λ = 0, 1$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $0$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} - 2 + 0 & 2 + 0 \\ - 3 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Some $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ - 3 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2.3

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 + 0 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2.4

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ - 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 3 + 3 \cdot - 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 2 - 0 \\ - 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 - 0 \\ - 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $0$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 2 + 3 (- \frac{2}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$